0 引 言
近年来，随着激光陀螺技术和旋转调制技术的成熟和应用，国内高精度激光陀螺单轴旋转、双轴旋转惯导系统关键技术逐渐突破，完成了原理样机研发，并经过大量的实验室试验和跑车试验验证，达到了很高的精度水平[1, 2, 3]。如果继续提高系统性能，需要打破传统的惯导系统常见误差的补偿方式，因为这些误差大多都能够通过旋转调制掉，而应该将研究重点放在未被调制误差补偿和由于旋转额外引起的误差补偿上，IMU内杆臂误差就是一种。
如果将IMU视为刚体，在IMU运动过程中，它上面每个点的角速度都相同，所以理论上在IMU中3个陀螺的安装位置和方位可以任意，只要3个敏感轴之间不相互平行，经标定后均能实现IMU空间三维角速度测量。但由于3个加速度计物理尺寸和实际安装位置的限制，使得它们测量的是IMU不同点处的加速度，如果把这些加速度当作理想“点测量组件”的输出进行惯性导航解算，将引入导航误差，这种误差称为“内杆臂效应误差”[4, 5]。在旋转惯导系统对准滤波器中，采取速度作为观测量，而如果IMU存在较大内杆臂，加上转位机构带动IMU不停的旋转，会对观测量带来较大的误差，影响对准精度。
本文针对高精度激光陀螺双轴旋转惯导系统，分析转位运动下IMU内杆臂误差及补偿的方法，并验证在惯导对准中的应用效果。
1 内杆臂误差建模
假设IMU中陀螺测量理想无误差，3个加速度计Ax，Ay，Az相对IMU固定不变，3个加速度计敏感轴相互垂直且延长线相交于O点，如图 1所示。
图 1(Figure 1)
图 1
加计内杆臂示意图
Fig. 1
Diagrammatic sketch of acceleration inner-arm errors
以加速度计Ax为例进行分析，当IMU绕天向轴旋转时，假设天向轴与OAz重合，Ax绕O点沿半径rx作圆弧运动。考虑到沿天向轴旋转有启动、匀速旋转、停止3个运动模式，假设OAx与Ox轴的夹角$ \theta \left(t \right)$为正弦角振动形式，即
$ \theta \left(t \right)={\theta _0}\sin \left({\omega t} \right)\text{，} $
(1)
式中：$ {\theta _0} $为振动幅值；$ \omega $为角频率；$ T=2π/\omega $为振动周期为。对式（1）求导后得振动角速度：
$ \dot \theta \left(t \right)={\theta _0}\omega \cos \left({\omega t} \right)\text{，} $
(2)
可求得加速度计Ax处法向加速度$ {v_n}\left(t \right)$、向心加速度$ {a_n}\left(t \right)$、切向速度$ {v_t}\left(t \right)$和切向加速度$ {a_t}\left(t \right)$分别为：
$ \left. \begin{array}{l}
{v_n}\left( t \right) = 0\\
{a_n}\left( t \right) = {r_x}{\left( {\dot \theta \left( t \right)} \right)^2} = {r_x}\theta _0^2{\omega ^2}{\left( {\cos \omega t} \right)^2}\\
{v_t}\left( t \right) = {r_x}\dot \theta \left( t \right) = {r_x}{\theta _0}\omega \cos \omega t\\
{a_t}\left( t \right) = {\left( {{v_t}\left( t \right)} \right)^\prime } = - {r_x}{\theta _0}{\omega ^2}\sin \omega t
\end{array} \right\}, $
(3)
式（3）中，对切向加速度$ {a_t}\left(t \right)$和向心加速度$ {a_n}\left(t \right)$沿坐标轴分解，得加速度投影：
$ \left.{\begin{aligned}
\begin{aligned}{l}
{a_{tx}}\left(t \right)=- {a_t}\left(t \right)\sin \left({\theta \left(t \right)} \right)\\
={r_x}{\theta _0}{\omega ^2}\sin \omega t\sin \left({{\theta _0}\sin \omega t} \right)
\end{aligned}\\
\begin{aligned}{l}
{a_{ty}}\left(t \right)={a_t}\left(t \right)\cos \left({\theta \left(t \right)} \right)\\
=- {r_x}{\theta _0}{\omega ^2}\sin \omega t\cos \left({{\theta _0}\sin \omega t} \right)
\end{aligned}\\
\begin{aligned}{l}
{a_{nx}}\left(t \right)=- {a_n}\left(t \right)\cos \left({\theta \left(t \right)} \right)\\
=- {r_x}\theta _0^2{\omega ^2}{\left({\cos \omega t} \right)^2}\cos \left({{\theta _0}\sin \omega t} \right)
\end{aligned}\\
\begin{aligned}{l}
{a_{ny}}\left(t \right)=- {a_n}\left(t \right)\sin \left({\theta \left(t \right)} \right)\\
=- {r_x}\theta _0^2{\omega ^2}{\left({\cos \omega t} \right)^2}\cos \left({{\theta _0}\sin \omega t} \right)
\end{aligned}
\end{aligned}} \right\} \text{。} $
(4)
对于函数$ {f_1}\left({x,{t_1},{t_2}} \right)=\displaystyle\int_{{t_1}}^{{t_2}} {x\sin t\sin \left({x\sin t} \right){\text{d}}t} $和$ {f_2}\left({x,{t_1},{t_2}} \right)=displaystyle\int_{{t_1}}^{{t_2}} {x\sin t\cos \left({x\sin t} \right){\text{d}}t} $，根据被积函数的周期和对称性，可得：
$ {f_1}\left({x,0,π/2} \right)={f_1}\left({x,π/2,π } \right)=\\
{f_1}\left({x,π,3π/2} \right)={f_1}\left({x,3π/2,2π } \right)\text{，} $
(5)
$ {f_2}\left({x,0,2π } \right)={f_2}\left({x,π/2,3π/2} \right)=0 \text{。}
$
(6)
根据上式，将式（4）在1个周期内积分，可得沿坐标轴向的各速度增量为：
$ {l}
\Delta {v_{tx}}\left(t \right)=\displaystyle\int_0^{\text{T}} {{r_x}{\theta _0}{\omega ^2}\sin \omega t\sin \left({{\theta _0}\sin \omega t} \right){\rm d}t}=\\
4{r_x}\omega {f_1}\left({{\theta _0},0,π/2} \right)\text{，} \\
\Delta {v_{ty}}\left(t \right)=\displaystyle\int_0^{\text{T}} { - {r_x}{\theta _0}{\omega ^2}} \times \\
\sin \omega t\cos \left({{\theta _0}\sin \omega t} \right){\text{d}}t=0 \text{，}\\
\Delta {v_{nx}}\left(t \right)=\displaystyle\int_0^{\text{T}} {\left({{a_x}\left(t \right)- {a_{tx}}\left(t \right)} \right)dt}={v_x}\left(T \right)- \\
\displaystyle\int_0^{\text{T}} {{a_{tx}}\left(t \right){\text{d}}t}=- 4{r_x}\omega {f_1}\left({{\theta _0},0,π/2} \right)\text{，}\\
\Delta {v_{ny}}\left(t \right)=\displaystyle\int_0^{\text{T}} {\left({{a_y}\left(t \right)- {a_{ty}}\left(t \right)} \right){\text{d}}t}=\\
{v_y}\left(T \right)- \displaystyle\int_0^{\text{T}} {{a_{ty}}\left(t \right){\text{d}}t}=0\text{。} $
(7)
2 内杆臂误差分析
如果旋转轴与OAz平行但不重合，即旋转中心与3个加速度计Ax，Ay，Az的延长线不为同一点，如图 2所示。建立2个坐标系如下：1个是Oxyz坐标系，3个轴分别与3个加速度计敏感轴重合，这里仍然假设3个加速度计敏感轴相互垂直且相交于一点；另1个是O'x'y'z'，O'为旋转中心，在平衡位置时它的3个轴与Oxyz坐标系3个轴分别平行。
图 2(Figure 2)
图 2
转轴与加计中心不重合下的内杆臂
Fig. 2
Inner-arm on imbalance about core of rote-axis and acceleration
参照式(3)可得角振动在Ax加速度计敏感处的向心加速度和切向加速度大小分别为：
$ {a_{xn}}\left(t \right)=\left| {O'{A_x}} \right|\theta _0^2{\omega ^2}{\left({\cos \omega t} \right)^2} \text{，}\\[5pt]
{a_{xt}}\left(t \right)=- \left| {O{'}{A_x}} \right|{\theta _0}{\omega ^2}\sin \omega t \text{。} $
(8)
沿加速度计Ax敏感轴向的加速度，测量值为：
$$
{a_x}\left(t \right)=- {a_{xn}}\left(t \right)\cos \angle {A_x}O'x' - {a_{xt}}\left(t \right)\sin \angle {A_x}O'x'=\\[5pt]
- \left| {O'{X_1}} \right|\theta _0^2{\omega ^2}{\left({\cos \omega t} \right)^2}+\left| {O'{Y_1}} \right|{\theta _0}{\omega ^2}\sin \omega t \text{，}
$$
同理，可得加速度计Ay的测量值为：
$$
{a_y}\left(t \right)=- {a_{yn}}\left(t \right)\sin \angle {A_y}O'x' - {a_{yt}}\left(t \right)\cos \angle {A_y}O'x'=\\[5pt]
{\rm{ }} - \left| {O'{Y_2}} \right|\theta _0^2{\omega ^2}{\left({\cos \omega t} \right)^2}+\left| {O'{X_2}} \right|{\theta _0}{\omega ^2}\sin \omega t \text{。}
$$
根据式(4)和式(7)，将ax（t）、ay（t）沿着定坐标轴系分解（比如载体坐标系，初始时刻载体坐标系与Oxyz重合），再在1个振动周期内进行积分，得沿固定轴向导航速度增量：
$ \Delta {v_x}\left(T \right)= \displaystyle\int_0^{\text{T}} {{a_x}\left(t \right)\cos \left({\theta \left(t \right)} \right)}+{a_y}\left(t \right)\sin \left({\theta \left(t \right)} \right){\text{d}}t=\\
- 4\left| {O'{X_1}} \right|\omega {f_1}\left({{\theta _0},0,π/2} \right)+0+0+\\[6pt]
\quad\,4\left| {O'{X_2}} \right|\omega {f_1}\left({{\theta _0},0,π/2} \right)=\\
- 4{r_x}\omega {f_1}\left({{\theta _0},0,π/2} \right)\text{；} $
(9)
$ \Delta {v_y}\left(T \right)= \int_0^{\text{T}} {{a_x}\left(t \right)\sin \left({\theta \left(t \right)} \right)}+{a_y}\left(t \right)\cos \left({\theta \left(t \right)} \right){\text{d}}t=\\
0+4\left| {O'{Y_1}} \right|\omega {f_1}\left({{\theta _0},0,π/2} \right)- \\
\quad\,4\left| {O'{Y_2}} \right|\omega {f_1}\left({{\theta _0},0,π/2} \right)+0=\\
- 4{r_y}\omega {f_1}\left({{\theta _0},0,π/2} \right)\text{。} $
(10)
由式（9）和式（10）可见，在1个振动周期内的导航速度增量与振动中心的位置无关，导航速度增量与加计敏感点的中心距离（称为“内杆臂长度”）、振动频率成正比。如果IMU中加计存在内杆臂，导航时仍然将加速度计当作点测量组件的输出来解算，将会造成解算误差。尤其是对于旋转惯导系统，如果加速度计内杆臂长度比较大，由于IMU按照转位方案不停作转停运动，且旋转速度较大，这将会引起严重的导航解算速度误差。
3 内杆臂误差补偿
通过上面的分析可知，内杆臂引起的速度误差与旋转中心无关，而与内杆臂长度和振动频率有关。如果能够将内杆臂长度计算出来并补偿掉，将不会存在此项误差。内杆臂长度通过直接测量、根据导航解算速度漂移律辨识及转台测量加计输出在不同角速度下的漂移来标定3种方法获得。
内杆臂误差补偿的基本思想是将加速度计敏感点处的加速度测量折算至3个加速度计敏感轴交点O上。以加速度计Ax为例，设IMU的角速度矢量为$ \omega $，则Ax点处加速度矢量ax与O点加速度矢量ao之间的关系为：
$ {a_x}={a_o}+\dot \omega \times {r_x}+\omega \times \left({\omega \times {r_x}} \right)\text{。} $
(11)
式中：$ \dot \omega \times {r_x} $和$ \omega \times \left({\omega \times {r_x}} \right)$分别为Ax点相对于O点的切向加速度和法向加速度。
由于加速度计Ax只敏感沿法向加速度，将式（11）在Oxb轴投影得加速度计Ax测量输出为$ {a_{xx}}={a_{ox}} - \left({\omega _y^2+\omega _z^2} \right){r_x} $，移项后便得aox的计算公式。同理，可得加速度计Ay、Az测量输出折算到O点的计算公式为：
$ {a_{ox}}={a_{xx}}+\left({\omega _y^2+\omega _z^2} \right){r_x} \text{，}\\[4pt],
{a_{oy}}={a_{yy}}+\left({\omega _x^2+\omega _z^2} \right){r_y} \text{，}\\[4pt],
{a_{oz}}={a_{yy}}+\left({\omega _x^2+\omega _y^2} \right){r_z} \text{。} $
(12)
将式（12）写成矢量形式为：
$ {{ a}_o}={{ a}_A} - \omega \times \left({\omega \times r} \right)\text{。} $
(13)
式（13）即为内杆臂误差补偿的计算公式，经补偿后若将O点视为加计测量输出点，则从原理上不会再造成任何内杆臂效应误差。
实际系统中3个加计敏感轴往往不相交于一点，则在加速度的折算过程中必然与角速度的导数关联，这对角速率或角增量输出的陀螺来说，求导对实际导航解算的影响不利。通常在设计IMU时对加计的安装都有一定的位置和方位要求。
4 试验验证
为验证本文对内杆臂误差建模的正确性和补偿方法的有效性，利用某型激光陀螺IMU（陀螺精度大约为0.004°/h）进行静态试验验证。试验流程如下：1）进入初始对准工作模式，共10 min，其中粗对准4 min，闭环精对准6 min，粗对准方案和精对准方案分别采用文献[6]和文献[7]中的卡尔曼滤波闭环对准方案，不同的是在对准方案中增加了内杆臂误差的补偿。2）转入自主纯惯性导航工作模式。图 3是闭环精对准的航向角曲线，精对准2 min后航向角收敛在2′的振荡范围内。图 4是导航3.5 h的速度误差和位置误差曲线，速度误差最大值0.3 m/s，位置误差最大值0.5 nm/3.5 h。说明经过内杆臂误差补偿后，惯导系统初始对准航向角能够快速收敛，达到较高的导航精度。
图 3(Figure 3)
图 3
闭环卡尔曼滤波精对准航向角曲线
Fig. 3
The curve of yaw for kalman filter closed alignment
图 4(Figure 4)
图 4
导航3.5 h速度和位置误差曲线
Fig. 4
The curve of 3.5 hours' navigation velocity errors and position errors
5 结 语
本文对激光陀螺IMU内杆臂误差进行分析、建模，研究了误差补偿的方法，得到以下结论：
1）内杆臂误差体现在IMU运动过程中，尤其对于旋转惯导系统影响较大。
2）如果不对内杆臂误差进行补偿，该误差将随着IMU旋转而引入惯导系统初始对准误差和导航误差中。
3）利用已测量的内杆臂长度，对内杆臂误差进行补偿，能够有效减小内杆臂误差对惯导系统精度的影响。
本文对惯性测量单元内杆臂误差的建模与补偿可以应用于舰用高精度激光陀螺旋转惯导系统方案设计中。